Begay blev født i Tuba City, Arizona, den 11. januar 1954. Han voksede op i Navajo-reservatet, hvor han lærte om traditionel Navajo-kultur fra sine forældre og bedsteforældre. Begay begyndte at tegne og male i en ung alder, og han indså hurtigt, at han havde et talent for kunst.
Efter sin eksamen fra gymnasiet studerede Begay kunst ved Institute of American Indian Arts i Santa Fe, New Mexico. Han gik derefter på University of Arizona, hvor han fik en Bachelor of Fine Arts-grad.
Begays malerier skildrer en række emner, herunder Navajo-ceremonier, ritualer og hverdagsliv. Hans arbejde er kendetegnet ved dets livlige farver, indviklede mønstre og stærke følelse af spiritualitet. Begays malerier er blevet rost for deres skønhed, deres kulturelle betydning og deres evne til at fange essensen af Navajo-livet.
Begays arbejde er blevet udstillet på museer og gallerier rundt om i verden, herunder Smithsonian Institution, Heard Museum og Museum of Modern Art. Han har også modtaget adskillige priser, herunder National Endowment for the Arts Fellowship, Arizona Governor's Arts Award og Native American Art Awards.
Begays arbejde fortsætter med at inspirere og uddanne seerne om Navajo-kulturen. Han betragtes som en af de vigtigste indianske kunstnere i sin generation.
Begay døde af kræft den 17. august 2012 i Tuba City, Arizona. Han var 58 år gammel.